একটি ভেক্টর রাশিকে সামান্তরিক সূত্রের দ্বারা বহুভাবে দুটি ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করা যায়। এই পদ্ধতির নাম ভেক্টর রাশির বিভাজন। সুতরাং একটি ভেক্টর রাশিকে দুই বা ততোধিক ভেক্টর রাশিতে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টর রাশির বিভাজন বা বিশ্লেষণ বলে। এই বিভক্ত ভেক্টর রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে মূল ভেক্টর রাশির এক একটি অংশক বা উপাংশ (Component) বলে।

(i) যে কোন দুই উপাংশে বিভাজন :

মনে করি R একটি ভেক্টর রাশি। তীর চিহ্নিত OB সরলরেখাটি তার মান ও দিক নির্দেশ করছে [চিত্র ১.২২]। OB-এর সাথে দুই পাশে $\alpha$ ও $\beta$ কোণ উৎপন্ন করে এরূপ দুটি দিকে একে দুটি উপাংশে বিভক্ত করতে হবে।

এখন O বিন্দু হতে OB-এর সাথে দুই পাশে $\alpha$ এবং $\beta$ কোণ করে OA এবং OC রেখা দুটি টানি। OB-কে কর্ণ করে OABC সামান্তরিকটি অঙ্কন করি।

সুতরাং সামান্তরিকের সূত্রানুযায়ী OB দ্বারা সূচিত ভেক্টর রাশি <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>R</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর দুটি অংশকের বা উপাংশের মান ও দিক <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OA</mi><mo>→</mo></mover></math> এবং <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OC</mi><mo>→</mo></mover></math> নির্দেশ করবে।

বর্ণনানুসারে OC এবং AB সমান্তরাল এবং OB তাদেরকে যুক্ত করেছে। কাজেই <ABO = <BOC = $\beta$

এখন ত্রিকোণমিতি ও ত্রিভুজের ধর্মানুসারে $∆$OAB হতে আমরা পাই,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>β</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mo><</mo><mi>O</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac></math>

আবার AB = OC এবং <OAB = 180° - ( <AOB + <ABO) = 180° - ($(\alpha +\beta )$

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>β</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>O</mi><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OA</mi><mo>→</mo></mover></math> এবং <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">OC</mi><mo>→</mo></mover></math> দ্বারা সূচিত উপাংশ দুটির মান যথাক্রমে P এবং Q-এর সমান ধরে আমরা পাই,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>P</mi><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>β</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>Q</mi><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>R</mi><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>180</mn><mo>°</mo><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>R</mi><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></math> 

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>R</mi><mo> </mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></math> 

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>R</mi><mo> </mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi mathvariant="normal">α</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac></math> 

সমীকরণ (13) ও (14) R ভেক্টরের উপাংশের সমীকরণ।

(ii) লম্ব উপাংশে বিভাজন :

যদি R ভেক্টরকে সমকোণে বিভাজিত করা হয় অর্থাৎ, P এবং Q উপাংশ দুটি পরস্পর সমকোণী হয় [চিত্র ১.২৩], তবে $(\alpha +\beta )$ = 90°

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mspace linebreak="newline"/><mi>sin</mi><mo> </mo><mi>β</mi><mo>=</mo><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mn>90</mn><mo>°</mo><mo> </mo><mo>−</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>cos</mi><mfenced><mi>α</mi></mfenced><mspace linebreak="newline"/><mfrac><mi>P</mi><mrow><mi>cos</mi><mfenced><mi>α</mi></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>Q</mi><mrow><mi>sin</mi><mfenced><mi>α</mi></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>R</mi><mspace linebreak="newline"/><mi>P</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mo> </mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mo> </mo><mi>α</mi><mspace linebreak="newline"/><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mo> </mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>α</mi></math>

P এবং Q উপাংশ দুটিকে মূল ভেক্টর রাশি R-এর নম্বাংশ বলে। P-কে অনুভূমিক উপাংশ (Horizontal components) এবং Q-কে উলম্ব উপাংশ (Tangential components) বলে।

১.৯ একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ

একটি ভেক্টর রাশিকে একক ভেক্টর রাশির সাহায্যে প্রকাশ করতে গিয়ে আমরা দুটি বিষয় বিবেচনা করব। একটি দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র ও অপরটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র। নিম্নে বিষয় দুটি পৃথকভাবে আলোচিত হল। 

 (ক) দ্বিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে : 

ধরা যাক পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX ও OY সরলরেখা দুটি যথাক্রমে X ও Y অক্ষ নির্দেশ করছে [ চিত্র ১.২৪ ]। XY সমতলে X অক্ষের সাথে $\theta$ কোণে অবস্থিত OP রেখাটি দ্বারা r মানের একটি ভেক্টর রাশি <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>r</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর মান ও দিক নির্দিষ্ট হয়েছে। আরও ধরা যাক P-এর স্থানাঙ্ক (x, y) এবং ধনাত্মক X ও Y অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$।

P হতে X অক্ষের উপর PN লম্ব টানি ।

তা হলে চিত্র অনুসারে ON = x, NP = y এবং OP =r.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mi>x</mi><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>,</mo><mover accent='true'><mrow><mi>N</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mi>y</mi><mover accent='true'><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mo>,</mo><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent='true'><mi>r</mi><mo>→</mo></mover></math>

এখন, ত্রিভুজ সূত্র অনুসারে,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>+</mo><mover accent='true'><mrow><mi>N</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mspace linebreak="newline"/><mover accent='true'><mi>r</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mi>x</mi><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mi>y</mi><mover accent='true'><mi>j</mi><mo>^</mo></mover></math>

ভেক্টরের মান

চিত্র ১:২৪ হতে আমরা পাই,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>N</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>N</mi><msup><mi>P</mi><mn>2</mn></msup><mspace linebreak="newline"/><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mspace linebreak="newline"/><mi>r</mi><mo>=</mo><msqrt><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt><mspace linebreak="newline"/></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>→</mo></mover></math>  বা <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর সমান্তরাল একক ভেক্টর :

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>→</mo></mover></math> বরাবর বা <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>→</mo></mover></math> -এর সমাস্তরাল একক ভেক্টর,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mi>r</mi><mo>^</mo></mover><mo> </mo><mo>=</mo><mfrac><mover accent='true'><mi>r</mi><mo>→</mo></mover><mi>r</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>x</mi><mover accent='true'><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mi>y</mi><mover accent='true'><mi>j</mi><mo>^</mo></mover></mrow><msqrt><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt></mfrac></math>

(খ)ত্রিমাত্রিক ভেক্টর রাশির ক্ষেত্রে : ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের বেলায় অনুরূপভাবে লেখা যায়,

$\hat{i}$= = $\hat{i}$ x + $\hat{i}$y + $\hat{k}$z. এখানে P-এর অবস্থানাঙ্ক (x, y, z) |

     প্রমাণ : ধরা যাক, পরস্পর সমকোণে অবস্থিত OX, OY ও OZ সরলরেখা তিনটি যথাক্রমে X, Y ও z অক্ষ নির্দেশ করছে | চিত্র ১২৫ ।। OP রেখাটি এই অক্ষ ব্যবস্থায় মানের একটি ভেক্টর রাশি নির্দেশ করছে। আরও মনে করি P-এর স্থানাঙ্ক (x,y,z) এবং ধনাত্মক X, Y ও Z অক্ষে একক ভেক্টর রাশি যথাক্রমে  $\widehat{i,}\hat{j},\hat{k}$ | PN রেখাটি হল XY সমতলের উপর এবং NQ রেখাটি হল OX-এর উপর লম্ব।

তা হলে <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>N</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>Q</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>Q</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>O</mi><mi>N</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> + <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent='true'><mrow><mi>N</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math>

কিন্তু,